A função logarítmica de base a f(x) = loga x possui a real, positivo e a ≠ 1. Ela é a função inversa da função exponencial, portanto, seus gráficos são simétricos à reta x = y. A função logarítmica tem um gráfico que nunca toca o eixo Y, podemos então dizer que esse eixo é uma assíntota dessa função.
Cálculos com logaritmos estão presentes em várias atividades cotidianas. Uma delas é a medida da magnitude dos terremotos, feita pela escala Richter. Mas esse tipo de escala só foi criada graças ao matemático escocês John Napier, que formulou o logaritmo natural no século XVII, com a finalidade de simplificar os cálculos comuns da astronomia, feitos na época.
O que é logaritmo?
Dados os números reais positivos a, b e c, a ≠ 1, se b = ac, então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja, loga b = c.
Na forma logarítmica, temos loga b = c, sendo:
- c: logaritmo;
- a: base do logaritmo;
- b: logaritmando.
Para entender melhor, podemos ver alguns exemplos:
- Log3 81 = 4 ⇔ 34 = 81
- Log8 1 = 0 ⇔ 80 = 1
O que é função logarítmica?
A função logarítmica associa cada número real positivo x ao número real loga X, chamado logaritmo de x na base a, com a real, positivo e a ≠ 1. Ela é geralmente dada por f(x) = loga X.
O domínio da função logarítmica são os números reais positivos não nulos, e sua imagem são todos os números reais.
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior que 1. Particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as de e (logaritmos naturais) são as que usamos com maior frequência, por facilitarem os cálculos.
As funções, abaixo, são exemplos de funções logarítmicas:
- f(x) = log2 x
- g(x) = log e x = ln x
Gráfico da função logarítmica
O gráfico dessa função passa pelo ponto (1,0), ou seja, f(1) = 0. O gráfico nunca toca o eixo y nem ocupa pontos dos quadrantes II e III.
Somente números positivos possuem logaritmo real, pois a função f(x) = ax assume somente valores positivos. Se a > 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo positivo, e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo. Portanto, se 0 < a < 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo negativo, e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo positivo.
Sabendo disso, podemos definir que:
- Quando a > 1, a função é crescente;
- Quando 0 < a < 1, a função é decrescente.
A função logarítmica é ilimitada, superiormente e inferiormente. No caso de a > 1, ser ilimitada superiormente significa que se pode dar a loga x um valor tão grande quanto se queira, desde que tomemos x suficientemente grande.
A função logarítmica é injetiva, pois números positivos diferentes têm logaritmos diferentes. Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer número real b, existe sempre um único número real positivo x, tal que loga x = b. Portanto, ela é ainda bijetiva.
Na função logarítmica f(x) = loga x (a > 0 e a ≠ 1), sendo ela crescente ou decrescente, o eixo das ordenadas é uma assíntota vertical do gráfico, isto é, à medida que x tende para zero, o valor da função cresce ou decresce ilimitadamente, sem jamais tocar o eixo y.
A função inversa da função exponencial é a função logarítmica. Portanto, os gráficos das duas funções são simétricos à reta = x.
Propriedades das operações com logaritmos
Para conseguir trabalhar melhor com as funções logarítmicas, devemos relembrar algumas de suas propriedades nas operações.
Dada a definição de logaritmo, há algumas propriedades que surgem dessa definição:
logab = c ↔ ac = b
Consequência da definição de logaritmo
loga 1 = 0
loga a = 1
loga an = n
alogab = b
logb a = logbc ↔ a = b
Além disso, existem propriedades operatórias dos logaritmos, dadas por:
Também, às vezes, é necessário trabalhar com logaritmos de bases 10, para facilitar nossas contas. Para isso, precisamos saber como funciona a mudança de base em um logaritmo:
Exercício Resolvido
1) (UFSCAR – SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore que se destina à produção de madeira evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático:
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)
Com (t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 metros de altura, qual foi o tempo (em anos) transcorrido do tempo de plantação ato o corte?
RESOLUÇÃO
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1)
3,5 = 1,5 + log3 (t + 1)
2 = log3 (t + 1)
t + 1 = 32
t + 1 = 9
t = 8 anos.
