A construção do conhecimento científico está vinculada às necessidades sociais de cada época. O surgimento dos logaritmos ocorreu no início do século XVII, pois havia a necessidade de astrônomos, navegadores, comerciantes e engenheiros realizarem cálculos rápidos e precisos.
John Napier (1550-1617) inventou tanto a palavra quanto o conceito de logaritmo, em 1614, após estudo de vinte anos. Em seguida, essa ferramenta matemática foi sofrendo diversas mudanças.
Desde a sua invenção, há mais de 400 anos, o logaritmo ganhou importância para outras áreas, e hoje é utilizado em diversos campos da ciência, por exemplo, na Física, na Química e na Biologia.
O que é um logaritmo?
Vamos tomar como exemplo a relação entre os números 2, 4 e 16. Primeiramente, observamos que:
- Temos: 4 = 2 . 2;
- E: 16 = 4 . 4 = (2 . 2) . (2 . 2)
- Mas: 2 . 2 . 2. 2 = 24
- Então, sabemos que: 16 = 24
A operação que associa os números 2 e 4 (base e expoente, respectivamente) ao número 16 chama-se potenciação. Por outro lado, conhecendo a potência e a base, podemos fazer a operação inversa para encontrar o valor do expoente x tal que: 2x = 16
A essa operação, vamos atribuir a seguinte notação: log2 16 = x, em que x = 4, pois 24 = 16.
Essa notação é denominada logaritmação, e o número 4 é chamado logaritmo de 16 na base 2. Isso indica que log2 (16) = 4, ou seja, 16 = 24 (16 é igual a 2 elevado a 4).
Definição
Dizemos que o logaritmo de um número positivo a, na base b, positiva e diferente de 1, é o expoente x, ao qual a se deve elevar b para se obter a – logba = x – bx = a
Nomenclatura
Antilogaritmo ou logaritmando é o número a. Base é o número b. Logaritmo é o número . Sendo logb (a) pronunciado como o “logaritmo de a na base ”. Além disso, se a base do logaritmo for , costuma-se omiti-la na sua representação, como mostra a equação: log10b = logb (log – logaritmo decimal).
Exemplos:
- log232 = 5, pois 25 = 32;
- log3 243 = 5, pois 35 = 243;
- log 1000 = 3, pois 103 = 1000;
- log2 2 = 1, pois 21 = 2.
Exercícios resolvidos
Calcule o valor de na igualdade log7 49 = x
Solução: log7 49 = x
Usando a definição de logaritmo, 7x = 49, mas, 49 = 7 . 7 = 72. Portanto, 7x = 72.
Essa igualdade apenas é validade se x = 2, então: log7 49 = 2.
Propriedades importantes
Com os logaritmos, as operações são substituídas por outras mais simples: potenciações por multiplicações, multiplicações por adições, divisões por subtrações.
Essas transformações de operações mais complicadas em outras mais simples serão apresentadas na forma de propriedades.
1a propriedade Logaritmo de um produto
O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base. Em linguagem matemática, temos: logb (a . c) = logba + logbc.
Exemplo:
Sabendo que o log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule o log 6.
Solução:
Observamos que log 6 = log (2 . 3), então, aplicando a propriedade do logaritmo de produto, temos: log 6 = log (2.3) = log(2) + log(3) = 0,301 + 0,477 = 0,778.
2a propriedade Logaritmo de um quociente
O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base. Em linguagem matemática, temos:
Exemplo:
Sabendo que o log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule:
Solução:
log(2) –log(3) = 0,301 – 0,477 = -0176.
3a propriedade Logaritmo de uma potência
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Em linguagem matemática, temos: logb an = logba.
Exemplo:
Sendo log 2 = 0,301, calcule log 8.
Solução:
Sabendo que 8 = 2 .2 . 2, ou seja, 8 = 23, temos que:
log8 = log 23 = 3.log 2 = 3.0,301 = 0,903
Exercícios resolvidos
A função logaritmo é uma das noções mais importantes das que integram o currículo do Ensino Médio. Vejamos duas aplicações:
1– (UFMG) O pH de uma solução aquosa é definido pela expressão pH = – log[H+], em que [H+] indica a concentração, em mol/L, de íons de hidrogênio na solução, e log o logaritmo na base 10.
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que nela a concentração de íons de hidrogênio era [H+] = 5,4x10-8 mol/L.
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa solução foi:
(a) 7,26
(b) 7,32
(c) 7,58
(d) 7,74
Solução:
É preciso usar as propriedades dos logaritmos. Acompanhe, passo a passo.
2 – (UFRJ)Seja β a altura de um som, medida em decibéis. Essa altura β está relacionada à intensidade do som I, pela expressão, abaixo, na qual a intensidade padrão I0 é igual a 10-12 W/m2:
Observe a tabela, a seguir. Nela, os valores de foram aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes de som:
Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir de 90 dB, o número de fontes da tabela cuja intensidade de emissão de sons está na faixa de risco é de:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Solução:
Para resolver esse exercício, é preciso determinar β para cada uma das fontes de som, usando, quando necessário, as três propriedades dos logaritmos. Além disso, temos que log (10) = 1 e log(32) = 1,5, pois log (32) = log (25) = 5 . log2 = 5 . 0.3 = 1,5:
Os resultados mostram que a intensidade da Turbina e o Amplificador de som estão acima da faixa de risco, isto é:
Desse modo, a resposta correta é a letra b.
Para saber um pouco mais sobre a História dos Logaritmos, você pode ouvir os seguintes áudios:
O que é logaritmo – http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1292
Nesse programa, o apresentador discute com um convidado especial, contando com algumas participações de ouvintes, o significado da palavra logaritmo no contexto da Matemática.
A criação dos logaritmos – http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1279
Na aula de hoje, a professora explica a Joãozinho e Sofia como ocorreu a criação dos logaritmos e sua importância no desenvolvimento de várias áreas do conhecimento. Na segunda parte da aula, o destaque fica por conta do diálogo entre o professor Henry Briggs e o Lorde John Napier.
