A função Quadrática, que também é chamada de função polinomial do 2º grau, é definida como f(x) = ax² + bx + c, com {a, b, c} ⊂ R e a ≠ 0. O domínio D(f) é definido nos números reais e o gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
Usamos esse tipo de equação em diversas situações. Na área da física, movimentos uniformemente variados são estudados usando equações do segundo grau. Empresas também utilizam esse tipo de equação para encontrar seu lucro máximo ou lucro mínimo, por exemplo, para determinar o custo total máximo da produção mensal de canetas a cada valor x de canetas fabricadas.
Pontos notáveis da parábola
Existem parábolas que possuem duas raízes reais, ou seja, ela intercepta o eixo x em dois pontos. Para obter esses pontos, atribuímos 0 ao valor da variável Y, obtendo, então, ax² + bx + c = 0.
A partir disso, utilizamos a Fórmula de Bhaskara para encontrar essas raízes:
- Se temos Δ>0, a equação terá duas raízes distintas e reais x1 ≠ x2. Portanto, teremos dois pontos de intersecção no eixo x (x1, 0) e (x2,0);
- Se temos Δ<0, a equação não terá raiz real e a parábola não encosta no eixo X;
- Se temos Δ=0, a equação terá duas raízes reais iguais x1=x2.
De outro modo, também podemos ter o ponto em que a parábola intercepta o eixo Y. Para obter esse ponto, atribuímos x = 0 à equação. Portanto, teremos que f(x) = c, ou seja, o ponto será (0,c)
Forma completa e incompleta da Equação do Segundo Grau
A equação do segundo grau f(x) = ax² + bx + c está descrita na sua forma completa. Porém, pode-se assumir valores para b e c iguais a zero, tornando-se, então, uma equação incompleta.
Se a equação for completa, podemos encontrar suas raízes utilizando a Fórmula de Bhaskara.
- Se b=0, teremos: ax² + c = 0. Podemos então encontrar as raízes dessa equação fazendo x1 = √(-c/a) e x2 = – √(-c/a);
- Se c = 0, teremos ax² + b = 0. Suas raízes serão x1 = 0 e x2 = -b/a;
- Se b = c = 0, teremos x² = 0. Suas raízes serão x1 = 0 e x2 = 0.
Exemplos
Encontre, se existirem, as raízes da seguinte função: y = x² -6x + 5 = 0.
Fazendo Y = 0, temos:
1) Calculando o Δ da equação completa:
Há 2 raízes reais.
2) Aplicando Bhaskara:
Métodos para encontrar raízes
Podemos também escrever a função da seguinte maneira: ax^ + bx + c = a(x – x1).(x – x2), sendo x1 e x2 as raízes reais da função. Ou seja, fatorando, podemos então encontrar suas duas raízes.
Outro método se dá por Soma e Produto. A soma e o produto das raízes da equação quadrática são dados respectivamente por:
Parâmetros da parábola
Paramento a: é o responsável pela concavidade e abertura da parábola. Chamamos esse valor de coeficiente angular, que é exatamente o número que está multiplicando x².
A concavidade é virada para cima se, e somente se, a>0. A concavidade será voltada para baixo se, e somente se, a<0.
Parâmetro b: indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola.
Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo y.
Gráfico da função
Como já foi dito, o gráfico da função quadrática é uma parábola. Para desenharmos esse gráfico, podemos utilizar das seguintes ferramentas:
1) Observe o coeficiente angular da parábola. Com isso, já determinamos se sua concavidade está virada para cima ou para baixo.
2) Determine suas raízes, se existirem. Serão os pontos exatos que ela irá cruzar o eixo X.
3) Se existe c≠0, a parábola irá interceptar o eixo Y no ponto (0,c)
4) Determine, então, o ponto de máximo ou mínimo da parábola, que é exatamente o seu vértice. Esse ponto é obtido por V (-b/2.a , – Δ/4.a).
5) Marque esses pontos no plano cartesiano e ligue-os, formando então a parábola.
Teremos, assim, uma parábola, como mostra a seguinte figura:
Exercícios Resolvidos
1) Escreva na forma fatorada as funções: a) f(x) = x² – 5x + 6
Resolução: A forma fatorada é f(x) = a(x – x1)(x – x2), em que x1 e x2 são as raízes da equação f(x) = 0.
Encontrando as raízes, temos:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = -52 – 4 . 1 . 6
Δ = 25 – 4. 1 . 6
Δ = 1
Há 2 raízes reais.
Aplicando Bhaskara:
x = (-b +- √Δ)/2a
x1 = (–5 + √1)/2.1, x2 = (–5 – √1)/2.1
x1 = 6 / 2 x2 = 4 / 2
x1 = 3 x2 = 2
Portanto, a forma fatorada será: f(x) = (x-3).(x-2)
2) Quais são os sinais de a, b e c no gráfico da função quadrática f(x) = ax² + bx + c dado abaixo?
Resolução:
1) a<0, pois a concavidade está para baixo.
2) c > 0, pois f(0) = c e a parábola corta o eixo vertical em sua parte positiva.
3) A abscissa do vértice é dada por -b/2.a. Portanto, a e b têm sinais iguais quando a abscissa do vértice é negativa e têm sinais diferentes quando a abscissa do vértice é positiva. Logo, neste exemplo, a e b têm sinais contrários, pois a abscissa do vértice é positiva. Como a<0, então b>0.
