O plano cartesiano começou a ser desenvolvido em 1637 por René Descartes. Primeiramente, ele trata, em sua obra Discurso Sobre o Método, da ideia de especificar a posição de um ponto ou objeto numa superfície, usando dois eixos que se intersectam. Mais tarde, em sua obra La Géométrie, ele desenvolve o conceito que apenas tinha sido referido na obra anterior.
A seguir, veremos o que são coordenadas cartesianas e como utilizá-las, só aqui no Gestão Educacional!
Retas numéricas: o que são?
Quando viajamos em uma rodovia, é possível ver alguns marcos quilométricos. Esses marcos auxiliam os motoristas a saber aonde estão indo, pois se o condutor vê que os números das placas estão diminuindo cada vez mais, isso significa que ele está indo para o começo da estrada.
Na matemática, as retas numéricas são similares às estradas com marcos quilométricos. Os pontos na reta numérica podem ser encontrados pelos números associados a eles.
Plano cartesiano: o que é?
Na matemática, para localizar pontos no plano, usamos um referencial parecido com o das coordenadas geográficas. Primeiro, traçamos duas retas numeradas, perpendiculares entre si, chamadas de eixo horizontal de coordenadas e eixo vertical de coordenadas.
Ou seja, pegamos duas retas numéricas, como a que vimos acima, e colocamos ambas no mesmo plano, de modo que elas formem 90° entre si.
Esses eixos se encontram em um ponto O, que chamamos de origem, e correspondem às coordenadas zero de cada eixo.
As coordenadas cartesianas são usadas para localizar um ponto nesse plano que descrevemos acima.
Coordenadas cartesianas: o que são?
No plano cartesiano, chamamos o eixo horizontal de eixo das abcissas. Tratamentos a distância entre a origem e o valor que o ponto assume nesse eixo de abscissa, que é representada pela letra X.
Enquanto isso, o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas. A distância entre a origem e o valor que o ponto assume nesse eixo é chamada de ordenada, que é representado pela letra y.
Assim, dizemos que cada ponto no plano é representado por um par ordenado, em que x é a abcissa e y é a ordenada. Esse par ordenado é escrito sempre entre parênteses e separado por uma vírgula, como é o exemplo a seguir: (X,Y).
Como localizar um ponto no plano cartesiano
Para localizar um ponto, partimos sempre da origem O. Observe a imagem abaixo. Vamos localizar quais são as coordenadas cartesianas dos pontos A, B, C, D e E.
Vamos encontrar as coordenadas cartesianas do ponto A.
Partimos da origem e seguimos primeiro na horizontal. Obtemos então o número 2. Em seguida, partimos da origem e seguimos em direção vertical, encontrando o número 3. Assim, o ponto está a duas unidades para a direita e três unidades para cima. Portanto, as coordenadas do ponto A serão A (2,3).
Para evitar confusão, os números das coordenadas devem sempre ser apresentados nessa ordem: primeiro avanço horizontal, depois avanço vertical.
Se quisermos encontrar as coordenadas do ponto B, partindo da origem, teremos que andar para a esquerda, isto é, no sentido negativo, e uma unidade para cima, no sentido positivo. Por isso, as coordenadas desse ponto são B (-1,1).
Algo parecido também ocorre com os pontos C e D. Ambos terão coordenadas com algum número negativo. Suas coordenadas são C (-3, -4) e D (4, -1).
Porém, vejamos o ponto E. Ele está sobre o eixo Y. Quando o ponto está sobre algum dos eixos, a coordenada que representa o eixo que ele não andou será zero. Portanto, o ponto E será escrito como E (0, -3).
Sinal das coordenadas no plano cartesiano: como identificar os quadrantes?
Com o tempo, você vai perceber que sempre que marcar as coordenadas em uma determinada parte do plano cartesiano elas terão semelhanças.
Primeiramente, vamos entender que o plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes, como mostra a imagem a seguir:
Sendo o ponto P (X, Y), caso ele seja colocado em cada um desses quatro quadrantes, os valores das suas abcissas e ordenadas assumirão sinais diferentes. Vamos, a seguir, fazer o estudo desses sinais.
- 1º quadrante: os pontos nesse quadrante terão suas ordenadas e abcissas com valores positivos. Portanto, P será: P (X, Y);
- 2º quadrante: nesse quadrante, todos os pontos que estiverem nele terão os valores das abcissas negativos e os valores das ordenadas positivos. Portanto, nesse quadrante, o ponto P será: P (-X, Y);
- 3º quadrante: nesse quadrante, tanto as abcissas quanto as ordenadas possuem valores negativos. P (-X, -Y);
- 4º quadrante: ordenadas negativas e abcissas positivas. P (X, -Y).
A figura abaixo ilustra isso:
Exercício:
1) Determine em qual quadrante cada um dos pontos está:
- A (1,3);
- B (-4,-5);
- C (-3,3);
- D (7, -8);
- E (-7,-6).
RESPOSTA:
- Primeiro quadrante: A;
- Segundo quadrante: C;
- Terceiro Quadrante: B, E;
- Quarto quadrante: D.
