Com o tempo, matemáticos físicos e engenheiros passaram a precisar de um novo conjunto numérico para entender vários fenômenos da matemática. Foi assim que surgiram os primeiros trabalhos feitos por Girolamo Cardano, para a elaboração do conjunto dos números complexos, também chamados popularmente de números imaginários.
Leonhard Euler foi um matemático suíço que contribuiu para melhorar a simbologia dos números complexos, atribuindo i para substituir o número √-1. O alemão Carl F. Gauss impulsionou o uso dos números complexos, elaborando o teorema fundamental da álgebra e introduzindo algumas notações utilizadas até hoje. A seguir, conheça mais sobre números imaginários e como utilizá-los.
O que são os números imaginários
Entre os conjuntos numéricos que já conhecemos, tínhamos inicialmente o conjunto dos números naturais, números inteiros, números racionais e irracionais.
Unindo o conjunto dos números racionais com os números irracionais, surgem os números reais R.
Vamos tentar achar a solução para o seguinte problema:
X² + 1 = 0
X² = -1
X = ±√-1
Sabemos que, se x ∈ R, então x² ≥ 0. Assim, essa equação não tem solução nos números reais, ou seja, não existe número real x elevado ao quadrado que resulte em –1.
Por isso, temos de estender o conjunto dos números reais para obter um conjunto chamado de números complexos (C).
Conjunto dos números imaginários
O conjunto dos números complexos é um conjunto do qual podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo.
A notação que usamos para definir os números complexos z é a forma algébrica, também chamada de forma binomial: z = a + bi
Sendo a ∈ R e b ∈ R (pertencentes aos reais R). Observe que um número complexo escrito dessa forma tem duas partes: uma parte real e uma parte imaginária, como mostra a imagem abaixo:
i é a unidade imaginária, tal que i² = -1. É exatamente a existência disso que permite a existência da raiz de um número negativo nesse conjunto.
Por exemplo, se x ∈ C e x² = -1, então x = ±1i (-1 = (i²).1 = (1i)²).
Assim, conseguimos resolver o problema que observamos no começo!
Denominações para números imaginários:
- Se um número complexo tem unidade imaginaria (b≠0), ele é chamado de imaginário;
- Se b=0, temos que z = a, então z é um número real;
- Se a = 0 e b≠0, temos que z = bi, então z é um imaginário puro.
Operações com números imaginários
Usando a forma algébrica que vimos acima, podemos realizar operações com números imaginários, basta aplicar a propriedade distributiva usada em multiplicação de binômios.
Veja os exemplos abaixo:
- Adição: (2 + 3i) + (-3+4i) = (2-3) + (3i+4i) = -1+7i
- Subtração: (1+i) – (3+2i) = (1-3) + (1i-2i) = -2 –i
- Multiplicação: (1+2i) . (2-3i) = (1.2) + (1.(-3i)) + (2i.2) + (2i.(-2i)) = 2 – 3i + 4i -6i² = 8+i (lembre-se que i² = -1)
- Divisão: a divisão de dois números complexos z1 e z2 é dada por:
Conjugado, potência e igualdade de um número imaginário
O conjugado de um número complexo z = a + bi é dado por:
Dois números complexos z = a + bi e w = c + di são iguais se, e somente se, a = c e b = d.
Potencias de i com expoentes inteiros podem assumir apenas 3 valores: i0=1i2=1i3=-i.
A partir disso, esses valores começam a se repetir. Portanto, para saber o resultado de i elevado a um número qualquer, faça: in=ip (p é o resto da divisão de n por 4).
Representação trigonométrica de um número imaginário
Podemos representar esse número complexo z por um par ordenado de números reais e assim representa-los geometricamente no plano cartesiano.
Assim, se z = a + bi é um número imaginário, podemos escrever que z = (a,b). Esse par ordenado pode ser associado a um ponto P no plano cartesiano. Portanto, o ponto P tem coordenadas P (a, b).
O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos é chamado de plano complexo ou plano Argand-Gauss.
Dizemos que o ponto P (a, b) é a imagem do número complexo a + bi.
Esse plano possui um eixo real (Re) e um eixo imaginário (Im). Para cada número complexo, existe um único ponto no plano.
Módulo e forma trigonométrica de um número imaginário
Dado um número complexo z = a+bi, dizemos que o seu módulo é calculado por:
Esse módulo é também chamado de argumento de z.
Para encontrarmos a forma trigonométrica de um número complexo, utilizamos a seguinte fórmula:
Sendo:
- 0 ≤ θ ≥ 2π
- cos θ = a \ |z| (a dividido pelo módulo de z)
- Sen θ = b / |z|
Multiplicação de números imaginários na forma trigonométrica
Sendo os números imaginários z1 e z2 representamos na forma trigonométrica da seguinte maneira:
O produto dos números imaginários z1 e z2 é dado por:
Potenciação de números imaginários na forma trigonométrica
A potência zn (sendo n um número real positivo) é dada pela fórmula de Moivre:
Para n = 0, z0 = 1.
Raízes enésimas de um número imaginário na forma trigonométrica
A raiz enésima de um número complexo é chamada de ω tal que ωn = z. Para obter essas raízes, usamos a segunda fórmula de Moivre, dada por:
É possível obter n-1 raízes distintas desconhecidas de um número complexo. Para isso, usamos: K = 0, 1, 2, … , (n-1).
Após k = n-1, os valores começam a se repetir.
